MAKALAH TENTANG BILANGAN REAL

BAB I

PENDAHULUAN

1.1    Latar Belakang

Sistem bilangan adalah hal pokok dalam sebuah ilmu matematika, bisa juga dikatakan sebagai inti dari suatu ilmu matematika itu sendiri. Sistem bilangan ini terbagi menjadi banyak macamnya, adapun yang kami sajikan dalam makalah ini adalah mengenai Bilangan Real.

Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional.

Bilangan real yang dilengkapi dengan sifat – sifat bilangan disebut sistem bilangan real.

Dalam aplikasinya himpunan bilangan ini mempunyai banyak turunan yang mempunyai bermacam-macam sifat dan bentuk bilangan.

1.2   Tujuan

Tujuan penyusunan makalah ini adalah untuk :

a.       Memenuhi salah satu tugas terstruktur Mata Kuliah Konsep Dasar Matematika.

b.      Mengembangkan pengetahuan dan kemampuan tentang Bilangan Real.

c.       Menemukan solusi dari suatu permasalah yang terkait dengan Bilangan Real. 

BAB II

BILANGAN REAL

A.    Berbagai Sistem Bilangan

Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain: ,  dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.

Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.

Bilangan-bilangan bulat dan rasional

Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (= Natural),

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …

Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (= dari bahasa Jerman, Zahlen):

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk , dimana m dan n adalah bilangan bulat dan , disebut bilangan-bilangan rasional (= Quotient ).

Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun  merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi  adalah suatu bilangan tak rasional (irasional).

Demikian juga Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.

B.     Bilangan-bilangan real

Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Perhatikan gambar!

Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn?

C.    Operasi pada Bilangan Real

Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian

a)      Operasi penjumlahan

Contoh:

1.      4 + 6  = 10

2.      4 + (-6 ) = -2

b)      Operasi pengurangan

Contoh:

1.      -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 $

2.      3. -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 $

c)      Operasi perkalian

Contoh:

1.      6 . 4 = 24

2.      6. (-4) = -24

3.      (-6).(-4) =  24

d)     Operasi pembagian

Contoh:

 

D.    Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan sebaliknya

a)      Mengubah Pecahan Biasa ke Desimal

Contoh:

b)      Mengubah Pecahan Desimal ke Persen

Contoh:

c)      Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya

Contoh:

Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen!

Menghitung persentase

a) Komisi

Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan

Contoh:

Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya komisi yang diterima?

Jawab:

Komisi = 15 % x Rp. 2.000.000

Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu sebesar. Rp. 300.000,00

b) Diskon

Diskon adalah potongan harga yang diberikan

Contoh:

Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar?

Jawab:

Diskon = 25 % x Rp. 800.000,00

Jadi, kita harus membayar sebesar:

Rp. 800.000,00 – Rp. 200.000,00 = Rp. 600.000,00

c) Laba dan rugi

Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya pembelian. Dirumuskan sebagai berikut:

Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut:

Contoh:

Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!

Jawab:

Laba = Rp. 2.400.000,00 – Rp. 2.000.000,00 = Rp. 400.000,00

Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:

Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:

P%= Rp.400.000   x 100%=16.7%

        Rp.2400.000

E.     Macam-macam bilangan real

1. Bilangan Asli (A)

Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk

membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,…

A = {1,2,3,4,…}

2. Bilangan Genap (G)

Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nÎA

G = {2,4,6,8,…}

3. Bilangan Ganjil (Gj)

Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nÎA

Gj = {1,3,5,7,…}

4. Bilangan Prima (P)

Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan

hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1

P = {2,3,5,7,…}

5. Bilangan Komposit (Km)

Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh

bilangan yang lain

Km = {4,6,8,9,…}

6. Bilangan Cacah (C)

Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol

C = {0,1,2,3,4,…}

7. Bilangan Bulat (B)

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan

bilangan bulat positif.

B = {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}

8. Bilangan Pecahan (Pc)

Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk a/b, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut,

dengan a dan b ÎB serta b ≠0

Contoh:

9. Bilangan Rasional (Q)

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0. (Gabungan bilangan bulat

dengan himpunan bilangan pecahan)

Contoh:

10. Bilangan Irasional (I)

Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat

dinyatakan dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0.

Contoh:  π = 3,14159…, e = 2,71828….

11. Bilangan Real (R)

Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan

rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan

dengan sebuah garis bilangan.

Contoh:

                                                -1         -2         -3         0          1          2          3          4

12. Bilangan Khayal (Kh)

Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa

dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.

Contoh:

13. Bilangan Kompleks (K)

Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan

dan khayal.

Contoh: 2 +

F.     Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat

a. Sifat Komutatif:

a + b = b + a

a.b = b.a

Contoh:

1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11

2. 9 . 3  = 3 . 9  = 27

b. Sifat Assosiatif:

(a + b) + c = a + (b + c)

(a . b) . c = a . (b . c)

Contoh:

1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10

2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30

c. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

a x (b + c) = ab + ac

Contoh:

5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6= 15 + 30= 45

d. Terdapat Dua Elemen Identitas

Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0,

sehingga memenuhi:

a + 0 = a

a . 1 = a

e. Terdapat Elemen Invers

Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu –

a yang memenuhi:

a + (-a) = 0

Setiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian.

BAB III

PENUTUP

3.1  Kesimpulan

Bilangan real Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional.

Bilangan real yang dilengkapi dengan sifat – sifat bilangan disebut sistem bilangan real.

Sifat – sifat bilangan real dibagi menjadi :

a.       Sifat-sifat Al-jabar

b.      Sifat-sifat urutan

c.       Sifat-sifat kelengkapan

3.2  Saran

Kami sebagai penyusun menyadari bahwa dalam menyusun makalah ini

termasuk jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari para pembaca.

Semoga makalah ini dapat member manfaat kepada kami dan pembaca pada

umumnya.

Daftar pustaka

Hollands Roy, (1983). Kamus Matematika Departement of Mathematics Dundee Colloge of Education. Jakarta: Erlangga Rahmat, et al. (2006). Belajar Matematika dengan Orientasi Penemuan dan Pemecahan Masalah. Bandung: Sarana Pancakarya.

Ruseffendi. (1992). Pendidikan Matematika 3. Jakarta: Depdikbud

Sinaga, M. et al. (2006). Terampil Berhitung Matematika untuk SD Kelas IV. Jakarta: Erlangga

MAAF KALAU ADA GAMBAR YANG TIDAK TAMPIL.