Rabu, 23 Mei 2012

MAKALAH TENTANG BILANGAN REAL


BAB I
PENDAHULUAN

1.1    Latar Belakang

Sistem bilangan adalah hal pokok dalam sebuah ilmu matematika, bisa juga dikatakan sebagai inti dari suatu ilmu matematika itu sendiri. Sistem bilangan ini terbagi menjadi banyak macamnya, adapun yang kami sajikan dalam makalah ini adalah mengenai Bilangan Real.

Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional.
Bilangan real yang dilengkapi dengan sifat – sifat bilangan disebut sistem bilangan real.
Dalam aplikasinya himpunan bilangan ini mempunyai banyak turunan yang mempunyai bermacam-macam sifat dan bentuk bilangan.

1.2   Tujuan

Tujuan penyusunan makalah ini adalah untuk :

a.       Memenuhi salah satu tugas terstruktur Mata Kuliah Konsep Dasar Matematika.
b.      Mengembangkan pengetahuan dan kemampuan tentang Bilangan Real.
c.       Menemukan solusi dari suatu permasalah yang terkait dengan Bilangan Real. 

BAB II
BILANGAN REAL

A.    Berbagai Sistem Bilangan
Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain: ,  dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.
Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.
Bilangan-bilangan bulat dan rasional
Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (= Natural),
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …

Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (= dari bahasa Jerman, Zahlen):

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:
Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk , dimana m dan n adalah bilangan bulat dan , disebut bilangan-bilangan rasional (= Quotient ).
Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun  merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi  adalah suatu bilangan tak rasional (irasional).
Demikian juga Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.

B.     Bilangan-bilangan real
Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Perhatikan gambar!
Description: garis-bil.jpg

Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn?
C.    Operasi pada Bilangan Real
Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian
a)      Operasi penjumlahan
Description: clip-image042.gif

Contoh:
1.      4 + 6  = 10
2.      4 + (-6 ) = -2

b)      Operasi pengurangan
Description: bil-ril.jpg
Contoh:
1.      -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 $
2.      3. -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 $



c)      Operasi perkalian
Description: bil-ril21.jpg
Contoh:
1.      6 . 4 = 24
2.      6. (-4) = -24
3.      (-6).(-4) =  24

d)     Operasi pembagian
Description: bil-ril3.jpg
Contoh:
Description: CodeCogsEqn-24.gif 
Description: CodeCogsEqn-25.gif
Description: CodeCogsEqn-28.gif
D.    Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan sebaliknya

a)      Mengubah Pecahan Biasa ke Desimal
Contoh:

Description: CodeCogsEqn-30.gif
Description: CodeCogsEqn-32.gif
Description: CodeCogsEqn-31.gif


b)      Mengubah Pecahan Desimal ke Persen
Contoh:
Description: clip-image086.gif
Description: clip-image084.gif

c)      Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya
Contoh:
Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen!
Description: clip-image090.gif

Description: clip-image088.gif



Menghitung persentase

a) Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan
Contoh:
Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya komisi yang diterima?
Jawab:
Komisi = 15 % x Rp. 2.000.000
Description: clip-image098.gif
Description: clip-image100.gif

Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu sebesar. Rp. 300.000,00

b) Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan
Contoh:
Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar?

Jawab:
Diskon = 25 % x Rp. 800.000,00
Description: clip-image108.gif

Description: clip-image110.gif
Jadi, kita harus membayar sebesar:
Rp. 800.000,00 – Rp. 200.000,00 = Rp. 600.000,00
c) Laba dan rugi
Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya pembelian. Dirumuskan sebagai berikut:
Description: laba1.jpg
Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut:
Description: rugi.jpg
Contoh:
Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!
Jawab:
Laba = Rp. 2.400.000,00 – Rp. 2.000.000,00 = Rp. 400.000,00
Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:
Description: clip-image117.gif

Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:
P%= Rp.400.000   x 100%=16.7%
        Rp.2400.000

E.     Macam-macam bilangan real
1. Bilangan Asli (A)
Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk
membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,…
A = {1,2,3,4,…}
2. Bilangan Genap (G)
Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nÎA
G = {2,4,6,8,…}
3. Bilangan Ganjil (Gj)
Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nÎA
Gj = {1,3,5,7,…}
4. Bilangan Prima (P)
Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan
hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1
P = {2,3,5,7,…}
5. Bilangan Komposit (Km)
Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh
bilangan yang lain
Km = {4,6,8,9,…}
6. Bilangan Cacah (C)
Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol
C = {0,1,2,3,4,…}
7. Bilangan Bulat (B)
Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan
bilangan bulat positif.
B = {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
8. Bilangan Pecahan (Pc)
Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk a/b, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut,
dengan a dan b ÎB serta b ≠0
Contoh:
9. Bilangan Rasional (Q)
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0. (Gabungan bilangan bulat
dengan himpunan bilangan pecahan)
Contoh:

10. Bilangan Irasional (I)
Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0.
Contoh:  π = 3,14159…, e = 2,71828….

11. Bilangan Real (R)
Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan
rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan
dengan sebuah garis bilangan.
Contoh:
                                                -1         -2         -3         0          1          2          3          4

12. Bilangan Khayal (Kh)
Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa
dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.
Contoh:
13. Bilangan Kompleks (K)
Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan
dan khayal.
Contoh: 2 +

F.     Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat
a. Sifat Komutatif:
a + b = b + a
a.b = b.a
Contoh:
1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11
2. 9 . 3  = 3 . 9  = 27
b. Sifat Assosiatif:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a . b) . c = a . (b . c)

Contoh:

1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10
2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30
c. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan
a x (b + c) = ab + ac
Contoh:
5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6= 15 + 30= 45

d. Terdapat Dua Elemen Identitas
Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0,
sehingga memenuhi:

a + 0 = a
a . 1 = a

e. Terdapat Elemen Invers
Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu –
a yang memenuhi:

a + (-a) = 0
Setiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian.





BAB III
PENUTUP
3.1  Kesimpulan

Bilangan real Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional.
Bilangan real yang dilengkapi dengan sifat – sifat bilangan disebut sistem bilangan real.

Sifat – sifat bilangan real dibagi menjadi :
a.       Sifat-sifat Al-jabar
b.      Sifat-sifat urutan
c.       Sifat-sifat kelengkapan

3.2  Saran
Kami sebagai penyusun menyadari bahwa dalam menyusun makalah ini
termasuk jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari para pembaca.
Semoga makalah ini dapat member manfaat kepada kami dan pembaca pada
umumnya.




Daftar pustaka

Hollands Roy, (1983). Kamus Matematika Departement of Mathematics Dundee Colloge of Education. Jakarta: Erlangga Rahmat, et al. (2006). Belajar Matematika dengan Orientasi Penemuan dan Pemecahan Masalah. Bandung: Sarana Pancakarya.
Ruseffendi. (1992). Pendidikan Matematika 3. Jakarta: Depdikbud
Sinaga, M. et al. (2006). Terampil Berhitung Matematika untuk SD Kelas IV. Jakarta: Erlangga


MAAF KALAU ADA GAMBAR YANG TIDAK TAMPIL.




Tidak ada komentar:

Poskan Komentar